Münchhausen, Cantor en de Verzamelingenleer

Het (wiskundige) begrip (woord) verzamelingen is afkomstig van Georg Cantor, die rond 1874 de verzamelingenleer bedacht.

Unter einer „Menge“ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die „Elemente“ von M genannt werden) zu einem Ganzen.

Zijn oorspronkelijke versie wordt de intuïtieve (ook wel naïeve) verzamelingenleer genoemd. De intuïtieve verzamelingenleer stelt dat

• voor elke eigenschap A bestaat de verzameling van alle dingen met eigenschap A.

Dit intuïtieve verzamelingenbegrip wordt echter geteisterd door paradoxen en inconsistenties.

De Burali-Forti paradox (1897) toont aan dat het intuïtief (predicatief, naïef) construeren van de verzameling van alle ordinaalgetallen tot een tegenspraak leidt:

• zij X de verzameling van alle ordinale getallen

• dan heeft X alle eigenschappen van een ordinaal getal (het is zelf ook een ordinaal getal)

• echter, ieder ordinaal getal heeft een opvolger; we kunnen altijd een opvolger van X construeren die strikt genomen groter is dan X, en overigens ook weer een ordinaalgetal is

• dat kan echter niet, want alle ordinaalgetallen zijn element van de verzameling van alle ordinale getallen (X)

Hierdoor is er sprake van een ‘gekoppelde ongelijkheid’ en dus van een antinomie in ieder systeem waarin predicatieve constructies zijn toegestaan.

Daarom is een formele, veel strengere verzamelingenleer ontwikkeld. Deze axiomatische verzamelingenleer (ZFC genaamd) is in de twintigste eeuw sterk verweven geraakt met de structuur van de huidige wiskunde.

In ZFC wordt een verzameling opgevat als een ongedefinieerde primitieve en worden alleen de eigenschappen van verzamelingen gedefinieerd door de axioma’s.

ZFC stelt dat:

• voor elke verzameling V bestaat de verzameling van alle deelverzamelingen van V; en

• voor elke verzameling V en eigenschap A bestaat de verzameling van alle elementen van V die eigenschap A hebben.

Duidelijk is dat de intuïtieve (lees predicatieve) definitie, die verzamelingen conceptualiseert in termen van eigenschappen, prachtig klinkt maar niet werkt.

… the terms predicative and non-predicative (later, impredicative) were introduced by Russell (1906) in his struggles dating from 1901 to carry out the logicist program in the face of the set-theoretical paradoxes. Russell called a propositional function f(x) predicative if it defines a class, i.e., if the class { x: f(x) } exists, and non-predicative otherwise.

De ZFC definitie werkt daarentegen wel, maar enkel door op massieve wijze het bestaan te postuleren van verzamelingen als ongedefinieerde primitieven.

Er is an-sich niets tegen het postuleren van het bestaan (‘er zijn’) van wiskundige objecten (of domeinen, morphismen, categorieën) als ongedefinieerde primitieven; zie bijvoorbeeld Hilbert’s axiomatisering van de meetkunde, waarbij punten, lijnen, vlakken, ruimten, etc eveneens worden opgevat als ongedefinieerde primitieven). Wel vereist een dergelijke methode van postuleren dat de eigenschappen van de ongedefinieerde primitieven vervolgens goed en duidelijk worden gedefinieerd (inhoudelijk worden gespecificeerd). Anders is het net als de onfeilbaarheid van de paus, gegeven het dogma van de onfeilbaarheid van de paus: waar omdat het waar is en verder leeg (vacuously true). In ZFC geschiedt echter het volgende: er wordt van ongedefinieerde primitieven gesteld dat er een lege ongedefinieerde primitieve is en dat er een (actuele) oneindige ongedefinieerde primitieve is. Beide definities zijn meer dan ongelukkig; te spreken van een lege ‘Menge’ oftewel een lege hoeveelheid is ronduit contra-intuïtief, terwijl actuele oneindigheid voor velen (zie Wittgenstein ea) helemaal een gruwel is.

Hierdoor tilt de ZFC-axiomatisering zichzelf wel heel erg als een Baron von Münchhausen aan zijn kraag uit het moeras (‘impredicatiever’ kan bijna niet.).

Maar dat is nog niet alles.

Cantor had volstrekt mallotige opvattingen over het oneindige en ontwikkelde zijn concept van het ‘absoluut oneindige’ dat hij gelijkstelde aan God. Zie ook: brief aan Grace Chisholm-Young (1908): p. 454; Cantor, G. Briefe. Herausgegeben von Herbert Meschkowski und Winfried Nilson. Springer Verlag, 1991.

Cantor was een stevig deel van zijn leven behoorlijk in de war, en bij tijd en wijle zelfs zo gek als een deur. Gedurende de tweede helft van zijn leven leed hij in toenemende mate aan depressies die soms verergerden tot paranoïde waandenkbeelden, waardoor hij regelmatig moest worden opgenomen.

Opvallend is nu dat ook in de ZFC-axiomatisering het axioma van oneindigheid prominent aanwezig is: er bestaat een verzameling van oneindig veel deelverzamelingen:

• er bestaat een niet-lege verzameling V zodanig dat als a ∈ V dan ook { a } ∈ V.

Hiermee trekt ZFC, in navolging van Cantor, de paradoxen-doos van Pandora wijd open (Poincare: the source of each paradox lies in the assumption of the “actual” or “completed” infinite).

In Cantor en in ZFC is er zoiets als het Absoluut Oneindige (grootste, laatste getal bijvoorbeeld). Om met het Absoluut Oneindige om te kunnen gaan is het Reflection Principle bedacht. In de intuïtieve formulering stelt men: voor iedere eigenschap van het universum van alle verzamelingen (het Absoluut Oneindige dus) kunnen we een verzameling vinden met diezelfde eigenschap. Ook deze formulering wordt, op min of meer dezelfde wijze als bij de intuïtieve definitie van verzamelingen, geteisterd door paradoxen en inconsistenties (“ ….. according to the received view, Cantor’s views about the set theoretic universe as whole are a hopelessly simplistic, and ultimately philosophically untenable.”; Absolute Infinity – PhilipWelch and Leon Horsten).

In ZFC wordt er daarom gewerkt met “reflection theorems”.

Deze stellen dat we een verzameling kunnen vinden die bijna een model is van ZFC. Immers, door het axioma van oneindigheid kan er geen eindige axiomatisering van de verzamelingenleer worden opgesteld, zoals in 1961 aangetoond door Richard Montague. ZFC kan derhalve niet op eindige wijze worden geaxiomatiseerd, iets dat op zich geen verrassing moge heten; indien er wel een eindige axiomatisering voor ZFC zou zijn, dan zou ZFC een model van zichzelf bevatten en derhalve en consistent en volledig zijn, hetgeen in tegenspraak is met de tweede onvolledigheidstelling van Gödel.

Aantoonbaar tegenspraakvrij is slechts de algemene verzamelingenleer, dat wil zeggen de ZFC-verzamelingenleer met uitsluiting van het oneindigheidsaxioma; een verzamelingenleer met eindige verzamelingen.

Wederom is duidelijk dat de intuïtieve definitie inderdaad weer prachtig klinkt maar ook dit keer weer niet werkt. De ZFC definitie daarentegen werkt mogelijk wel (dat is niet zeker, er is nog volop ontwikkeling, met dank aan het keuze-axioma – zie verder) maar dan deze keer als een Baron von Münchhausen die zichzelf aan zijn kraag uit de hemel naar beneden laat afdalen.

Dan is er nog de relatie tussen de Wiskunde en de verzamelingenleer.

De verzamelingenleer beoogt, tamelijk expliciet, de wiskunde te kunnen grondvesten op de verzamelingenleer en vormt sinds het midden van de twintigste eeuw (als gevolg van het werk van Paul Bernays, David Hilbert en, vreemd genoeg, Ludwig Wittgenstein) inderdaad een van de grondslagen van de wiskunde, samen met het streng axiomatische raamwerk of formalisme en de categorietheorie (die zich geheel abstract bezighoudt met wiskundige structuren en hun verbanden).

Het idee dat de wiskunde maar één basis had die in de wiskunde zelf vastlag heeft lang tot allerlei controverses geleid. Verschillende stromingen bleven werken aan hun eigen invalshoeken en hebben elkaars standpunten fel bestreden. Deze tijd wordt wel die van de grondslagenstrijd genoemd. In de jaren vijftig is er een compromis bereikt, waarbij verschillende gezichtspunten mogelijk blijven.

Wittgenstein: “Set theory is “utter nonsense”, ‘wrong’ and ‘laughable’; its “pernicious idioms” mislead us and the crudest possible misinterpretation is the very impetus of its invention.”

De verzamelingenleer is heden ten dage alomtegenwoordig in de wiskunde. Het kan als een basis worden gebruikt van waaruit bijna de gehele wiskunde kan worden afgeleid en waarop vrijwel alles van de wiskunde kan worden gebaseerd. Zo worden elementaire begrippen in de wiskunde, zoals functies, gedefinieerd in termen van verzamelingen. Hierbij wordt gebruikgemaakt van het Cartesisch product.

Sommigen vermelden liever de wiskundige logica in plaats van de categorietheorie. Anderen stellen dat je logica kunt definiëren als datgene wat wiskundigen nou juist niet doen. In deze visie is de wiskundige logica niet meer dan een van de vele specialismen van de wiskunde, met wellicht leuke maar niet erg relevante resultaten. Verder kun je onderdelen van de wiskunde zoals modeltheorie en bewijstheorie veel beter (transparanter, eenvoudiger en eleganter) uit de categorietheorie afleiden dan uit de wiskundige logica.

Tegenwoordig gebruikt de overgrote meerderheid van de (academische, wetenschappelijke) wiskundigen de ZFC axiomatisering van de verzamelingenleer. Alhoewel men er eigenlijk een hekel aan heeft, hem contra-intuïtief vindt of hem niet als voor de hand liggend beschouwt, werkt desalniettemin praktisch iedereen bijzonder blijmoedig met het keuze-axioma uit de ZFC axiomatisering. Dat doen wiskundigen vooral omdat het axioma zo lekker werkt en er dus een heleboel leuke dingen mee kunnen. Bovendien, zonder lukt het echt niet, dan klapt de variëteit van wat je met je wiskundige systeem kunt doen dramatisch in elkaar. Ergo, iedereen die (wetenschappelijk) met verzamelingen werkt, doet dat op basis van de ZFC axiomatisering, inclusief het keuze-axioma, dit of uit bittere noodzaak of uit pure lust.

Het keuze-axioma wordt tegenwoordig zonder voorbehoud door de meeste wiskundigen gebruikt en de meerderheid van de wiskundigen accepteert het keuze-axioma als een geldig principe, waarvan gebruik kan worden gemaakt bij het bewijzen van nieuwe resultaten in de wiskunde.

Een motivatie voor dit gebruik is dat een aantal belangrijke wiskundige resultaten het keuze-axioma voor hun bewijs vereisen; dit is misschien wel een van de meest interessante aspecten van het keuze-axioma: het grote aantal plaatsen in de wiskunde waar het axioma absoluut nodig is voor het bewijs.

Het keuze-axioma stelt dat het altijd mogelijk is om uit elke verzameling van een oneindige verzameling van verzamelingen precies een element te kiezen (ook al is de “keuzeregel” niet gedefinieerd; “It became established in the 1920s that sets are governed by the laws of ZFC. This has become the most prevalent form of set theoretic platonism: there are only sets, and they obey the principles of ZFC.”).

Een verzameling is oneindig als zij gelijkmachtig is met een echte deelverzameling, wat inhoudt dat er een een-op-een relatie is tussen de echte deelverzameling en de verzameling zelf.

Gegeven een willekeurige verzameling X van paarsgewijs disjuncte niet-lege verzamelingen, bestaat er ten minste een verzameling C, die precies een element gemeen heeft met elk van de verzamelingen in X. Voor elke verzameling A heeft de machtsverzameling van A (waar de lege verzameling uit is verwijderd) een keuzefunctie.

Samenvattend is het nu duidelijk:

• de (ZFC) verzamelingenleer gaat over helemaal geen en oneindig veel ongedefinieerde primitieven, waar bovendien alles mee kan

• de ZFC axiomatisering tilt zichzelf niet alleen aan zijn kraag uit het niets omhoog (letterlijk een creatio ex nihilo!), maar gebruikt diezelfde kraag ook om zichzelf de hemel in te tillen (letterlijk een ascensio domini!).

Qua transparantie, eenvoud en doelmatigheid is een predicatieve definitie van de verzamelingenleer te verkiezen. Die sluit bovendien naadloos aan bij de conceptuele definitie. Helaas is tot op vandaag de dag een predicatieve definitie niet (consistent) axiomatiseerbaar gebleken. Overigens, reeds ten tijde van Cantor ging hij roemloos ten onder (zie Burali-Forti paradox).

De elementen van een verzameling kunnen intensioneel (aan de hand van een regel of een semantische beschrijving) worden gedefinieerd, of extensioneel (expliciet opsommen van elk element van de verzameling): de conceptuele definitie en de enumeratieve definitie.

Zie: http://www.illc.uva.nl/truth/truth11/

Hartry Field (New York University); Property Theory and the Foundations of Mathematics; Goedel once said “There never were any set-theoretic paradoxes, but the property-theoretic paradoxes are still unresolved.” I will explain this, indicate the intended distinction between sets and properties (which isn’t just over extensionality), and review work since Goedel toward resolving the property-theoretic paradoxes.

Zie ook: math.stanford.edu/~feferman/papers/predicativity

Een conceptuele (predicatieve) definiëring (axiomatisering) van de verzamelingenleer is zeker wenselijk maar vooralsnog op geen enkele manier werkelijk. Immers, ieder systeem waarin predicatieve constructies zijn toegestaan bevat ‘gekoppelde ongelijkheden’ en is dus vatbaar voor antinomieën.

Rest derhalve ZFC, maar die levert je zowel geen enkele als oneindig veel ongedefinieerde primitieven die daarenboven geregeerd worden door een keuze-axioma waarmee letterlijk alles kan en mag. De ontologische last die dit veroorzaakt is enorm; immers, alles wat in een welgevormde zin (in de taal van de verzamelingenleer (zie: K Devlin; “The Joy of Sets”; p. 42 – Null Set Axiom) geformuleerd (gespecificeerd) kan worden beschouwd als een verzameling.

Nawoord: de Keuzefunctie

Een keuzefunctie is een functie f, gedefinieerd op een verzameling X van niet-lege verzamelingen, zodanig dat voor elke verzameling V in X, f(V) een element van V is. Elke keuzefunctie kan worden beschouwd als (of kan worden geïdentificeerd met) een element van het Cartesisch product van de verzamelingen in X. Dit leidt tot een gelijkwaardige stelling van het keuzeaxioma: gegeven een willekeurige verzameling van niet-lege verzamelingen, dan is hun Cartesisch product een niet-lege verzameling.

Het lijkt er op dat de twee grootste rampen in de westerse geschiedenis van de wetenschap Plato en Descartes moeten zijn geweest: de een vanwege zijn zwakzinnige ideeën theorie, feodale (fascistoïde) maatschappij opvattingen en pedofiele uitspattingen (drie uitstekende redenen waarom de christelijke kerken hem zo graag omarmen), de ander omdat hij ons met de dualiteit van geest en lichaam en het Cartesisch product (en dus het keuze-axioma) heeft opgezadeld.

Het creatio ex nihilo staat overigens garant voor nog veel meer onzin.

Zo staat ∃ ∅ voor het axioma van de lege verzameling: de lege verzameling bestaat, oftewel uit “niets” ontstaat ex nihilo “het niets”. En dan zeggen dat Heidegger en Derida babbling philosophers zijn.

Zie: K Devlin; “The Joy of Sets”; 2.1 – The Language of Set Theory.

Bovendien geldt (intuïtieve formulering):

∅ ∈ alle verzamelingen van het universum van verzamelingen (het Absoluut Oneindige).

We kunnen nu afleiden dat voor alle eigenschappen van het universum van verzamelingen geldt dat ∅ deze heeft. Oftewel “het niets” heeft alle (denkbare) eigenschappen. Dat komt goed uit, want “het niets” is spatio-temporeel onafhankelijk van onze werkelijkheid en staat ook niet in een causale relatie tot diezelfde werkelijkheid. Het is dus in alles de perfecte plek “voor de onzichtbare, tijdloze, perfecte voorbeelden, waarvan de verwerkelijkingen in de wereld om ons heen slechts zwakke imitaties zijn”.

Voorbeeld

Zij X een oneindige verzameling van verzamelingen, met deelverzameling X’

Zij X’ een topologische variëteit

(in de topologie is een topologische variëteit een topologische ruimteⁱ, die er lokaal uitziet als een Euclidische ruimteⁱⁱ)

zodanig dat:

X’ bevat de verzameling van alle elementaire deeltjes (inclusief hun euclidische positie) in ons zonnestelselⁱⁱⁱ op enig precies moment (of zoiets, als het maar niet vaag is)

Zij P(X’) de machtsverzameling van X’ (i.e., de verzameling van alle deelverzamelingen van X’)

Zij V = X ∪ P(X’)

Zij V’ de verzameling die ontstaat door (met behulp van het keuze-axioma) uit elke verzameling van V precies dat element te kiezen waardoor exact X’ ontstaat (in V’), maar dan met alle deeltjes die mijn neus vormen op een precieze locatie op Mars, en de deeltjes waarvan op Mars de plek is ingenomen op de plaats van mijn neus.

Oftewel: wat doet mijn neus op Mars, terwijl de rest van mij gewoon in het hier en nu is. Ontologisch zijn X’ en V’ gelijkwaardig onder het keuze-axioma, maar mijn neus en de rest van mij moeten daar metafysisch gesproken natuurlijk helemaal niets van hebben.

Overigens hebben niet alleen wiskundigen veel fantasie, ook theoretisch natuurkundigen kunnen er wat van. In de quantum mechanica is bovenbeschreven situatie principieel mogelijk: mijn neus kan zich plotseling zomaar opeens op Mars bevinden. De kans is weliswaar klein, maar alles behalve nul.